Valószínűleg mindennapi életében százszor találkozott egyoldalú tárgyakkal - mint például az újrahasznosítás univerzális szimbóluma, amelyet az alumínium kannák és a műanyag palackok hátoldalára nyomtattak.
Ezt a matematikai objektumot Mobius szalagnak hívják. Nagyon lenyűgözte a környezetvédőket, művészeket, mérnökeket, matematikusokat és még sokan mást, mióta felfedezte August Möbius, egy német matematikus, aki 150 évvel ezelőtt halt meg, 1868. szeptember 26-án, 1858-ban.
Möbius 1858-ban fedezte fel az egyoldalú szalagot, miközben a lipcsei egyetem csillagászati és felső mechanikájának székét szolgálta. (Egy másik, Listing nevű matematikus valójában néhány hónappal korábban írta le, ám munkáját 1861-ig nem tette közzé.) Úgy tűnik, hogy Möbius a Möbius szalaggal találkozott, amikor a többrétegű geometriai elméletén dolgozott, csúcsokból, élekből és sík felületekből álló szilárd alakok .
Möbius-csíkot úgy lehet létrehozni, hogy egy papírcsíkot vesz fel, így páratlan számú félcsavarodást kap, majd a végeket összecsavarva hurkot képez. Ha venne egy ceruzát, és húzzon egy vonalat a szalag közepe mentén, láthatja, hogy a vonal látszólag a hurok mindkét oldalán halad.
Az egyoldalú tárgy fogalma olyan művészeket inspirált, mint a holland grafikus MC MC, Escher, akinek a fametszetében a „Möbius Strip II” vörös hangyák jelennek meg, amelyek egymás után másznak a Möbius szalag mentén.
A Möbius szalagnak nem csupán egy meglepő tulajdonsága van. Próbáljon meg például ollót venni és a szalagot felére vágni az éppen húzott vonal mentén. Meglepődhet, hogy nem két kisebb, egyoldalas Möbius-csíkkal, hanem egy hosszú, kétoldalas hurokkal marad. Ha nincs papírdarabod a kezedben, az Escher „Möbius Strip I” fametszete megmutatja, hogy mi történik, ha egy Möbius-szalagot vágnak a középső vonal mentén.
Noha a szalag minden bizonnyal vizuális vonzerejű, a legnagyobb hatása a matematikában volt, ahol elősegítette a topológia nevű teljes terület kifejlesztését.
A topológus megvizsgálja azoknak a tárgyaknak a tulajdonságait, amelyek megmaradnak mozgatáskor, hajlításkor, nyújtáskor vagy csavaráskor anélkül, hogy alkatrészeket vágnának vagy összeragasztanák. Például egy kusza fülhallgató-topológiában ugyanaz, mint egy nem-összekapcsolt füldugó-párnak, mert az egyiknek a másikra történő cseréje csak mozgatást, hajlítást és csavarást igényel. Nincs szükség vágásra vagy ragasztásra az átalakulás között.
Egy másik, topológiai szempontból azonos tárgyak párja egy kávéscsésze és egy fánk. Mivel mindkét tárgynak csak egy lyuk van, az egyik deformálódhat a másikba a nyújtás és hajlítás révén.
Egy bögre morfá alakul fánkba. (Wikimedia Commons) Az objektum lyukainak száma olyan tulajdonság, amelyet csak vágással vagy ragasztással lehet megváltoztatni. Ez a tulajdonság, amelyet egy tárgy „nemzetségének” nevezünk, azt mondhatja, hogy a füldugók és a fánk topológiailag különböznek egymástól, mivel a fánknak van egy lyuk, míg a fülhallgatónak nincs lyuk.
Sajnos a Möbius csík és a kétoldalas hurok, mint egy tipikus szilikon-figyelmeztető karkötő, mindkettőnek egyetlen lyuk van, tehát ez a tulajdonság nem elegendő, hogy különválasztják őket - legalábbis a topológus szempontjából.
Ehelyett azt a tulajdonságot, amely megkülönbözteti a Möbius csíkot a kétoldalas hurkotól, orientáltságnak nevezzük. Hasonlóan a lyukak számához, az objektum tájolhatóságát csak vágással vagy ragasztással lehet megváltoztatni.
Képzelje el, hogy ír egy mappát egy átlátszó felületre, majd sétáljon ezen a felületen. A felület akkor orientálható, ha visszatérve sétájáról mindig el tudja olvasni a jegyzetet. Egy nem orientálható felületen visszatérhet sétájából, csak hogy megállapítsa, hogy az általad írt szavak nyilvánvalóan tükörképükké váltak, és csak jobbról balra olvashatók. A kétoldalas hurkon a jegyzet mindig balról jobbra olvasható, függetlenül attól, hogy hová tartott.
Mivel a Möbius szalag nem orientálható, míg a kétoldalas hurok orientálható, ez azt jelenti, hogy a Möbius szalag és a kétoldalas hurok topológiailag különböznek egymástól.
(Készítette: David Gunderman) A GIF elindulásakor az óramutató járásával megegyezően felsorolt pontok fekete, kék és piros színűek. A hárompontos konfigurációt azonban a Möbius szalag körül mozgathatjuk úgy, hogy az ábra ugyanabban a helyen legyen, de az óramutató járásával megegyezően felsorolt pontok színei vörös, kék és fekete. Valahogy a konfiguráció beépült a saját tükörképébe, de minden, amit tettünk, csak azt mozgatja a felületen. Ez az átalakulás lehetetlen egy orientálható felületen, mint például a kétoldalas hurok.
Az orientálhatóság fogalmának fontos következményei vannak. Vegyük az enantiomereket. Ezeknek a kémiai vegyületeknek ugyanaz a kémiai szerkezete van, kivéve egy kulcsfontosságú különbséget: egymás tükörképei. Például az L-metamfetamin kémiai anyag a Vicks Vapor Inhalers alkotóeleme. Tükörképe, D-metamfetamin, A osztályú illegális drog. Ha nem orientálható világban élnénk, akkor ezek a vegyi anyagok megkülönböztethetetlenek lennének.
Möbius augusztus felfedezése új lehetőségeket nyitott meg a természet világának megismerésére. A topológia kutatása továbbra is lenyűgöző eredményeket hoz. Például az elmúlt évben a topológia arra késztette a tudósokat, hogy felfedezzék az anyag furcsa új állapotait. Az idei Field Medal, amely a matematika legnagyobb megtisztelése, Akshay Venkatesh, matematikus lett, aki segített integrálni a topológiát más területeken, például a számelméletben.
Ezt a cikket eredetileg a The Conversation kiadta.
David Gunderman, Ph.D. az alkalmazott matematika hallgatója, a Colorado Egyetem és Richard Gunderman, a kancellár kórházi professzora, a liberális művészetek és a jótékonyság, az Indianai Egyetem
