Március 20-án az amerikai-kanadai matematikus Robert Langlands megkapta az Abel-díjat, amely a matematika teljes életének eredményeit ünnepli. Langlands kutatása kimutatta, hogy a geometria, az algebra és az elemzés fogalmait hogyan lehet összekapcsolni a prímszámokhoz való közös kapcsolat révén.
Amikor a norvég király májusban átadja a díjat Langlandsnek, tiszteletben tartja a legfrissebb, egy 2300 éves próbálkozáson alapuló szám megértése érdekében, amely vitathatatlanul a matematika legnagyobb és legrégebbi adatsora. Mint a „Langlands programnak” szentelt matematikus, elbűvöl a prímszámok története és az, hogy a legújabb fejlemények kitalálják titkait. Miért vonzták matematikusokat évezredek óta?
A prímok tanulmányozása érdekében a matematikusok egész számot feszítenek az egyik virtuális hálón a másikon keresztül, amíg csak prímek maradnak. Ez a szitálási folyamat millió millió prímát készített az 1800-as években. Ez lehetővé teszi a mai számítógépek számára, hogy kevesebb, mint egy másodperc alatt milliárd prímt találjanak. De a szita alapötlete 2000 év alatt nem változott.
„A prímszám az, amelyet csak az egység mér.” - írta Euklidész matematikus Kr. E. 300-ban. Ez azt jelenti, hogy a prímszámok nem oszthatók egyenletesen egy kisebb számmal sem, az 1. kivételével. Megállapodás szerint a matematikusok nem számítanak 1-nek egy prímszám. Euklidész bizonyította a prímek végtelenségét - örökké folytatódnak -, de a történelem azt sugallja, hogy az Eratosthenes adta nekünk a szitát a prímek gyors felsorolására.
Itt van a szita ötlete. Először szűrje ki 2-es, majd 3, majd 5, majd 7 - többszöröseit - az első négy prímből. Ha ezt minden számmal 2-től 100-ig hajtja végre, akkor csak az elsőszámok maradnak meg.
A 2-es, 3-as, 5-ös és 7-es többszörösének szitálása csak az 1 és 100 közötti prímeket hagyja el. (MH Weissman jóvoltából) Nyolc szűrési lépéssel el lehet választani a primusokat 400-ig. 168 szűrési lépéssel el lehet különíteni a primusokat legfeljebb egymillióval. Ez az Eratosthenes szita ereje.
**********
A PRIM táblázatok korai alakja John Pell, egy angol matematikus, aki a hasznos számok táblázatainak elkészítésére szentelte magát. Ösztönözte őt a Diophantos ősi aritmetikai problémáinak megoldására, hanem a matematikai igazságok megszervezésére irányuló személyes törekvésére is. Erőfeszítéseinek köszönhetően a 1700-as évek elején széles körben terjesztették a 100 000-ig terjedő prímteket. 1800-ra a független projektek táblázatait legfeljebb 1 millió összegű táblázatokba sorolták be.
A fárasztó szitálási lépések automatizálásához egy német matematikus, Carl Friedrich Hindenburg nevű állítható csúszkákkal állította elő az asztal egész oldalának többszöröseit egyszerre. Egy másik, alacsony színvonalú, de hatékony megközelítés sablonokat használt a szorzók megkereséséhez. Az 1800-as évek közepére Jakob Kulik matematikus ambiciózus projektet indított, amelynek célja az összes prím 100 millióra való felkutatása.
A Kulik által használt sablon a 37. szorzó szitálására. AÖAW, Nachlass Kulik, (Kép Denis Roegel jóvoltából, a szerző mellékelte) Az 1800-as évek ilyen „nagy adatai” valószínűleg csak hivatkozási táblázatként szolgáltak volna, ha Carl Friedrich Gauss nem döntött volna a prémek elemzése miatt. A legfeljebb 3 millió bírságú fegyveres fegyveres fegyverekkel Gauss elkezdett számolni, egyszerre egy „chiliad” vagy 1000 egységből álló csoportot. Megszámolta a prímeket 1000-ig, aztán 1000 és 2000 között, majd 2000 és 3000 között és így tovább.
Gauss rájött, hogy ahogy magasabbnak számít, a prímek fokozatosan ritkábbak lesznek egy „inverz log” törvény szerint. Gauss törvénye nem mutatja pontosan, hány prím van, de nagyon jó becslést ad. Például törvénye 72 büntetést számít előre 1 000 000 és 1 000 000 között. A helyes szám 75 prím, kb. 4 százalékos hiba.
Egy évszázaddal Gauss első felfedezései után törvényét bebizonyították a „prímszám tételben”. A százalékos hiba nullához közelít a nagyobb és nagyobb prímtartományokban. A Riemann-hipotézis, amely ma egy millió dolláros nyereményprobléma, azt is leírja, mennyire pontos Gauss-becslés.
A prímszám-tétel és a Riemann-hipotézis felhívja a figyelmet és a pénzt, ám mindkettő a korábbi, kevésbé elbűvölő adatelemzésen alapult.
.....
Ma az adatkészletek inkább számítógépes programokból származnak, nem pedig kézzel vágott sablonokból, de a matematikusok továbbra is új mintákat találnak a prímumokban.
A 2. és az 5. szám kivételével az összes elsődleges szám az 1, 3, 7 vagy 9 számjegyekkel ér véget. Az 1800-as években bebizonyították, hogy ezek a lehetséges utolsó számjegyek ugyanolyan gyakoriak. Más szavakkal: ha a prímteket egymillióig vesszük, akkor kb. 25% 1-vel, 25% 3-kal, 25% -kal 7-rel, 25% -kal 9-rel ér véget.
Néhány évvel ezelőtt a Stanford számú teoretikusokat, Lemke Oliver-t és Kannan Soundararajan-t a prímok utolsó számjegyében szereplő kavargások fogták el. Egy kísérlet a prím utolsó számjegyét, valamint a legközelebbi prím utolsó számjegyét vizsgálta. Például, a 23-as utáni elsődleges 29: 29: Az egyik utolsó számjegyében 3-at, majd 9-et lát. A prímok utolsó számjegyei között lát-e 3-at, majd 9-et gyakrabban, mint 3-at, 7-et?
Az utolsó számjegyű párok gyakorisága az egymást követő első számok között, akár 100 millióig is. Az illeszkedő színek megfelelnek a megfelelő réseknek. (MH Weissman, CC BY) A szám-elméletek némi eltérést vártak, ám az általuk talált messze meghaladta a várakozásokat. A prémeket különféle rések választják el egymástól; Például a 23-nak hat szám van a 29-től. De a 3-tól -9-ig terjedő, például a 23-as és a 29-ös prím sokkal gyakoribb, mint a 7-nél-3-prím, még akkor is, ha mindkettő hat eltérésből származik.
A matematikusok hamarosan meggyőző magyarázatot találtak. Ugyanakkor az egymást követő prímek tanulmányozásakor a matematikusok (többnyire) az adatok elemzésére és a meggyőzésre korlátozódnak. A bizonyítékok - a matematikusok aranystílusa annak magyarázatához, hogy miért igazak a dolgok - évtizedek óta tűnnek el.
Ezt a cikket eredetileg a The Conversation kiadta.
Martin H. Weissman, a matematika egyetemi docens, Kaliforniai Egyetem, Santa Cruz
